DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÉNCIA
Neste tema será apresentado as formas de identificação e frequência de dados qualitativos. Por exemplo, o estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, pode assumir as categorias: solteiro, casado, viúvo e divorciado.
A análise de dados qualitativos pode se feita através de dois métodos – o tabular e/ou o gráfico.
Métodos Tabular:
- Distribuição de frequências;
- Distribuição de frequência relativa;
- Distribuição de frequência percentual.
Métodos Gráficos
- Gráfico de barras;
- Gráfico de pizza.
1.Conceitos Básicos.
O Dado Qualitativo:
Ø É a representação simbólica atribuída a manifestação de um evento qualitativo;
Ø Representa a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades;
Ø É uma forma de quantificação de um evento qualitativo que confere um caráter objetivo à sua observação;
Ø Se refere a nomes ou rótulos e podem se dividir em nominais e ordinais, LAPPONI;
Ø É uma estratégia de classificação de um fenômeno aparentemente improvável;
Frequência:
Ø É o número de repetições de uma variável;
Ø Frequência relativa - é o resultado da divisão da frequência pelo tamanho da amostra, LAPPONI.
Distribuição de Frequência:
Ø É um sumário tabular de dados que mostra a freqüência ( ou o número) de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas, ANDERSON;
2.APLICAÇÃO: A aplicação de frequências se mostra importante quando queremos determinar o número ou a pocentagem de uma determinada variável em uma amostra. Além disso nos proporciona uma melhor forma de visualização de um conjunto de informações, principalmente quando se tem um grande número de dados.
3.EXEMPLO:
Em uma turma de Estatística estudam 61 alunos dos cursos de Administração e Ciências Contábeis, Apartir da lista de presença da 2ª unidade/2009, foi identificado qual o curso que cada integrante desta turma pertence e o sexo.
Variáveis:
- Sexo;
- Curso.
Com base nesses dados, quer saber quantas pessoas do sexo masculino e feminino o grupo é formado e o curso o qual pertencem. Para isso serão feitas duas distribuições de freqüências (tabelas), uma para a variável SEXO e outra para variável Curso.
O processo de construção da distribuição de freqüência (tabela) para variáveis qualitativas é feita através da identificação e contagem do valores apresentados em cada variável.
Ø Identificação dos Valores e Tamanho da Amostra:
Tamanho da Amostra:
o 61 estudantes
Variáveis:
o FEMININO :23 estudantes
o MASCULINO :38 estudantes
o CONTABILIDADE: 26 estudantes
o ADMINISTRAÇÃO: 35 estudantes
Tem-se a seguinte distribuição de freqüência para variável SEXO :
Tabela de Frequência para a variável sexo para a turma de Estatística
Da mesma forma se procede para a variável Curso:
Tabela de Frequência para a variável curso para a turma de Estatística
O cáculo da Freqüencia Relativa é realizada da seguinte maneira
Fórmula:
FR = Frequência / TOTAL = x 100
o FR sexoM = 38/61 x 100 = 62%
o FR sexo F = 23/61 x 100 = 38%
o FR curso Contabilidade = 26/35 x 100 = 43%
o FR curso Administração = 35/61 x 100 = 57%
Agora queremos saber a frequência de homens e mulheres para o curso de Administração, para o curso de Contabilidade e para a turma de Estatística.
Tamanho da Amostra:
- o Contabilidade: 26 estudantes
- o Administração: 35 estudantes
- o Turma de Estatística: 61 estudantes
Variáveis:
- o Nº de mulheres no curso de Contabilidade: 07
- o Nº de homens no curso de Contabilidade: 19
- o Nº de mulheres no curso de Administração: 16
- o Nº de homens no curso de Administração: 19
Tabela de Frequência para a variável sexo (masculino/feminino)nocurso de Contabilidade
Através da análise das tabelas de frequências acima se percebe que o curso de Contabilidade apresenta 27% de estudantes do sexo Feminino e 73% do sexo masculino.O curso de Administração 46% do sexo Feminino e 54% do sexo Masculino.
Com relação a turma de Estatística do total de 23 mulheres 70% são do curso de Administração e 30% apenas do curso de Contabilidade.
4.REFERÊNCIAS:
· Anderson, David R.. Estatística aplicada a adiministração, editora Thonson.
- Barbosa, Fernando Kauffmann. Data do acesso: 28/04/2009,http://www.fernandokb.pro.br
- Índice Geral. Data do acesso:04/05/2009,http://alea.ine.pt/html/nocoes/html/cap1_1_0.html
- Lapponi, Juan Carlos. Estatística usando o exel, 4ª edição, editora Campos.
Curva matemática usada na estatística e na simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorra, quando a probabilidade média é conhecida.
Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ou espaço específicos.
A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento.
=> Propriedades do experimento Poisson:
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dos intervalos de tempo - não existe nenhuma região ou espaço com maior probabilidade que a outra.
Quase não existe nenhuma probabilidade de acontecer mais de uma ocorrência num mesmo ponto - aproximadamente zero.
A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo - uma ocorrência não interfere na outra.
Exemplos
- Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia- Erros tipográficos por página,em um material impresso- Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricada - Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade- Problemas de filas de espera
Suponha que é observado o número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer dos períodos de tempo de igual comprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente da chegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.
Função de Probabilidade de Poisson
Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
λ= valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo
e = 2,71828
Média: E(X) = λ
Variância: Var(X)= λ
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Postado por DISTRIBUIÇÃO DE POISSON às 21:31
Definição
Curva matemática usada na estatística e na simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorra, quando a probabilidade média é conhecida.
Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ou espaço específicos.
A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias Nao que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento.
=> Propriedades do experimento Poisson:
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dos intervalos de tempo - não existe nenhuma região ou espaço com maior probabilidade que a outra.
Quase não existe nenhuma probabilidade de acontecer mais de uma ocorrência num mesmo ponto - aproximadamente zero.
A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo - uma ocorrência não interfere na outra.
Exemplos
- Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia- Erros tipográficos por página,em um material impresso- Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricada - Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade- Problemas de filas de espera
Suponha que é observado o número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma para quaisquer dos períodos de tempo de igual comprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente da chegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.
Função de Probabilidade de Poisson
Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…
P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo
λ= valor esperado ou número médio de ocorrências em um intervalo
e = 2,71828
Média: E(X) = λ
Variância: Var(X)= λ
Estatística como ferramenta na Ciências Contábeis
Autores: Camila, Deyrise, Madson, Nataniele, Wanessa
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
No campo da contabilidade, muitas vezes, o contabilista não consegue tomar decisões usando apenas as analises qualitativas. Para suprimir esta necessidade, utiliza-se a técnica de amostragem, mas, mesmo assim, em muitos casos existe a necessidade do profissional analisar a população como um todo para emitir a sua opinião nas demonstrações contábeis.
Diante das dificuldades impostas neste campo de conhecimento, tornou-se indispensável a aplicação de uma metodologia cientifica, que relacionasse a contabilidade a estatística. Esta aplicação chama-se CONTABILOMETRIA.
CONCEITO
A contabilometria oferece métodos quantitativos (matemática, estátistica) aplicados a contabilidade, proporcionando técnicas para organizar, resumir, planejar e tomar decisões em muitos relatórios financeiros de uma entidade.
APLICAÇÕES DA CONTABILOMETRIA
Principais instrumentos matemáticos aplicados na contabilometria:
· Amostragem- Permite a verificação da qualidade de produtos numa empresa.
· Analise de regressão- é utilizada para o propósito de previsão financeira.
· Programação multiobjetiva ou Goal Programing- Técnica que permite a modelagem e busca de soluções para os problemas numa empresa, com objetivos e metas a serem otimizados.
EXEMPLO:
Com base na analise de regressão, é preciso estimar os coeficientes a e b da seguinte reta de regressão:
Y = a + bX,
Onde:
X = nível da atividade (variável independente);
Y = custo misto total (variável dependente);
a = custo fixo total (interseção vertical da reta);
b = custo variável por unidade de atividade;
n = número de observações.
Os coeficientes a e b são determinados pelas seguintes fórmulas:
Resolvendo o problema com o auxílio da programa Excel, obtém-se o seguinte resultado:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÉNCIA e PROBABILIDADE
Introdução
Uma distribuição exponencial de probabilidade que é muito útil para descrever o tempo que se leva para completar uma tarefa, podendo descrever o tempo entre a chegada de um motoboy a casa do cliente, o tempo exigido para alguma tarefa dentro de uma fabrica, podendo assim ser aplicado em qualquer área aonde exista a necessidade de identificar tempos percorridos ou ate variações de maiores erros.
A Função de Densidade Exponencial da Probabilidade
f (x) =1/µ e –x/µ para x ≥ 0 , µ ≥ 0
Exemplo
Para um melhor entendimento daremos um exemplo, vamos considerar que o tempo médio para encher uma caixa d água segue uma tal distribuição, Se o tempo médio para encher uma caixa d água seja de 20 minutos (µ = 20) a função ficaria assim.
f (x) = 1/20 e -x/20
Como qualquer distribuição de probabilidade a área sob a curva que corresponde a um intervalo fornece a probabilidade de que a variável aleatória assuma qualquer valor naquele intervalo, no exemplo da caixa d água a probabilidade de enchimento da caixa seja 8 ou menos (x ≤ 8) esta definida como área de x =0 ate x = 8 sob a curva como podemos ver no gráfico. A probabilidade de que o enchimento de uma caixa de d água levara 15 minutos ou menos (x ≤ 15) é a área de x = 0 ate x = 15 sob a curva. Também podemos observar que a probabilidade do enchimento da caixa levara entre 8 minutos e 15 minutos (8≤x≤15) é dada pêra área de x= 8 ate x = 15 sob a curva. E para calcular probabilidades exponenciais usamos a formula a seguir.
Probabilidade da Distribuição Exponencial
P(x ≤ xo) 1 - e –xô/ µ
No exemplo o enchimento de uma caixa d água de forma aplicada ficaria desta forma
P(tempo de enchimento ≤ xô) = 1 – e –xo/20
Portanto a probabilidade de que o enchimento dure 8 minutos ou menos (x ≤ 8).
P(tempo de enchimento ≤ 8) = 1 – e –8/20=0,3297
Bibliografia. Estatística Aplicada a Administração e Economia
Autor: Anderson Sweeney Williams
Uma distribuição exponencial de probabilidade que é muito útil para descrever o tempo que se leva para completar uma tarefa, podendo descrever o tempo entre a chegada de um motoboy a casa do cliente, o tempo exigido para alguma tarefa dentro de uma fabrica, podendo assim ser aplicado em qualquer área aonde exista a necessidade de identificar tempos percorridos ou ate variações de maiores erros.
A Função de Densidade Exponencial da Probabilidade
f (x) =1/µ e –x/µ para x ≥ 0 , µ ≥ 0
Exemplo
Para um melhor entendimento daremos um exemplo, vamos considerar que o tempo médio para encher uma caixa d água segue uma tal distribuição, Se o tempo médio para encher uma caixa d água seja de 20 minutos (µ = 20) a função ficaria assim.
f (x) = 1/20 e -x/20
Como qualquer distribuição de probabilidade a área sob a curva que corresponde a um intervalo fornece a probabilidade de que a variável aleatória assuma qualquer valor naquele intervalo, no exemplo da caixa d água a probabilidade de enchimento da caixa seja 8 ou menos (x ≤ 8) esta definida como área de x =0 ate x = 8 sob a curva como podemos ver no gráfico. A probabilidade de que o enchimento de uma caixa de d água levara 15 minutos ou menos (x ≤ 15) é a área de x = 0 ate x = 15 sob a curva. Também podemos observar que a probabilidade do enchimento da caixa levara entre 8 minutos e 15 minutos (8≤x≤15) é dada pêra área de x= 8 ate x = 15 sob a curva. E para calcular probabilidades exponenciais usamos a formula a seguir.
Probabilidade da Distribuição Exponencial
P(x ≤ xo) 1 - e –xô/ µ
No exemplo o enchimento de uma caixa d água de forma aplicada ficaria desta forma
P(tempo de enchimento ≤ xô) = 1 – e –xo/20
Portanto a probabilidade de que o enchimento dure 8 minutos ou menos (x ≤ 8).
P(tempo de enchimento ≤ 8) = 1 – e –8/20=0,3297
Bibliografia. Estatística Aplicada a Administração e Economia
Autor: Anderson Sweeney Williams
Distribuição Normal
INTRODUÇÃO
A Distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana, Sem dúvida já conhecida de alguns leitores como a “curva em forma de sinto”. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre. O estudo do problema dos erros de medida levou à introdução da curva que, mais tarde, recebeu o nome de curva normal.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros deMédia e Desvio Padrão ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Normal.
As principais características da distribuição normal são:1. A média da distribuição é µ
2. O desvio-padrão é σ
3. A moda ocorre em x=µ
4. A curva é simétrica em relação a um eixo vertical passado por x=µ
2. O desvio-padrão é σ
3. A moda ocorre em x=µ
4. A curva é simétrica em relação a um eixo vertical passado por x=µ
APLICAÇÃO
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limiteque diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limiteque diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).
EXEMPLOS
Um exemplo bastante próximo de todos sobre como a curva de distribuição normal ajuda a definir padrões esperados é a pressão arterial. Quando o médic
o infla a almofada em nosso braço, lê o manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8, nos sentimos aliviados.Alguém já se perguntou, porém, por que 12/8 e não qualquer outro resultado é considerado padrão de normalidade deste parâmetro médico?
Um exemplo bastante próximo de todos sobre como a curva de distribuição normal ajuda a definir padrões esperados é a pressão arterial. Quando o médic
o infla a almofada em nosso braço, lê o manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8, nos sentimos aliviados.Alguém já se perguntou, porém, por que 12/8 e não qualquer outro resultado é considerado padrão de normalidade deste parâmetro médico?
A resposta é simples: as curvas de distribuição normal para a pressão arterial sistólica e diastólica tendem a concentrar seus resultados em torno de 120 e 80 mmHg, respectivamente.
Outras aplicabilidade da Distribuição Normal1. A vida média de certo aparelho é de 8 anos,com d.p. de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que causam defeito dentro do prazo de garantia.Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos que apresentem defeito,qual deve ser o prazo de garantia?
Solução: a condição do problema é que, de todos os aparelhos defeituosos, apenas 5 % tenham apresentado defeito dentro o prazo de garantia. Se esse prazo é de x anos a contar da data da compra, 5% das incidências de defeito devem ocorrer em um prazo menor do que x. Ora, a probabilidade 0,05 corresponde ao valor z= -1,645.Então, o prazo de garantia x se obtém como se segue:
2. Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente, dia e noite. A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma v.a. normal,com média de 50 dias e d.p. de 15 dias.Em 1º de janeiro,a companhia instalou 8.000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas deverão ser substituídas até 1º de fevereiro?
Solução: Para determinar quantas lâmpadas deverá ser substituídas até 1º de fevereiro,devemos calcular P(X≤31):
P(X≤31)=P(Z≤-1,27)=0,1020.
Deverão ser substituídas (0 ,1020). (8.000)=816 lâmpadas,aproximadamente.
______________________________________________________
Distribuição Binomial
Definições:
A distribuição binomial verifica as seguintes condições:1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.2. As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afecta probabilidade de ocorrência das restantes.)3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova.
Notação para a Distribuição Binomial
n denota o nº de provas (valor fixo à partida).
x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.
p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.
q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.
P(x) denota a probabilidade de obter exactamente xsucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).
Fórmulas da Probabilidade na Distribuição Binomial
P(X=x)= [n!/x!(n-x)!].p^x.q^(n-x) para x = 0, 1, 2, . . ., n ou
onde:
n = nº de provas
x = nº de sucessos nas n provas
p = probabilidade de sucesso em cada prova
q = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)
Média μ = n • p
Variância s^2 = n • p • (1-p)
Desvio Padrão s = n • p • (1-p) (raíz quadrada)
onde:
n = nº de provas
p = probabilidade de sucesso em cada uma das n provas
q = probabilidade de insucesso em cada uma das n provas
Utilização
A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado se deseja calcular a probabilidade de uma acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outra situações é necessário a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial ou multinomial.
Conceito
Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências.
Ilustração:
Por exemplo: temos um escritório de contabilidade para exemplificar será considerado o exemplo de conquista de novos clientes, considerando três conquistas. A probabilidade de sair um cliente péssimo(em situação financeira)é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de encontrar um cliente ótimo( em situação financeira) é igual a C (C = ¼). Assim, tem-se as seguintes situações;
A seqüência O³ + 3O²P + 3OP² + P³ tem dois significados:
a) Cada elemento corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo probabilidade, se verifica:
O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1
b) Corresponde a expansão do binômio:
(O + P)³ = O³ + 3O²P + 3OP² + P³ = 1
Considere um experimento realizado vezes, sob as mesmas condições, com as seguintes características:
1. Cada repetição do experimento (ou ensaio) produz um de dois resultados possíveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ie os resultados são dicotômicos.
2. A probabilidade de sucesso, P(S)=p , é a mesma em cada repetição do experimento. (Note que P(F)=1-p ).
3. Os ensaios são independentes, ie o resultado de um ensaio não interfere no resultado do outro.
As quantidades n e p são os parâmetros da distribuição binomial. O número total de sucessos é X uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p e é por denotadaX~B(n,p) .
A probabilidade de X=x , pode ser encontrada como:
A média de um variável aleatória binomial é np e a variância énp(1-p) .
Para melhor entendimento considere o seguinte exemplo:
Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual é recessivo), nós encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros são heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino é um quarto. (Então a probabilidade de não ser albino é 3/4)
Agora considere o mesmo casal com 2 crianças. A chance de que ambas sejam albinas é:
Da mesma forma, a chance de ambas serem normais é :
Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser:
Alternativamente, poderiamos ter usado a formula acima definindo como variável aleatória X o número de crianças albinas, com n=2, p=1/4 e estariamos interessados em P(X=1)
Se agora considerarmos a família com n=5 crianças, as probabilidades de existam x=0,1,2...,5 crianças albinas, em que a probabilidade de albinismo é p=1/4 , são dadas por
as quais ficam como segue:
O número esperado (ou média) de crianças albinas em famílias com 5 crianças para casais heterozigotos para o gene albino é
